Подробное описание настройки

Начнем с обычной настройки remote

git remote add origin https://github.com/xorcare/example.git

далее что бы автоматически происходил push в дополнительный репозиторий нужно выполнить следующую команду

git remote set-url --add --push origin https://bitbucket.org/xorcare/example.git

После выполнения этой команды мы получим ситуацию что fetch изменений происходит из Github, а вот отправка изменений push в репозиторий Bitbucket, что-бы вернуть отправку изменений в репозиторий Github и получить желаемый результат с отправкой изменений в оба репозитория нужно выполнить ещё одну команду.

git remote set-url --add --push origin https://github.com/xorcare/example.git

Теперь при каждом выполнении git push origin изменения будут отправляться два репозитория, можно добавить более чем два репозитория при необходимости.

Полный набор команд для Github, Bitbucket

git remote add origin https://github.com/xorcare/example.git

git remote set-url --add --push origin https://bitbucket.org/xorcare/example.git
git remote set-url --add --push origin https://github.com/xorcare/example.git

Стоит отметить что при текущей настройке репозиторий на Github получается как бы главным так как чтение изменений происходит только с этого репозитория и если с другого рабочего мета будет выполнена отправка изменений только на Bitbucket их нельзя будет скачать без дополнительных телодвижений с заменой remote.

Отправка изменений в Github, Gitlab, Bitbucket

git remote add origin https://github.com/xorcare/example.git

git remote set-url --add --push origin https://github.com/xorcare/example.git
git remote set-url --add --push origin https://gitlab.com/xorcare/example.git
git remote set-url --add --push origin https://bitbucket.org/xorcare/example.git

P. S. Подразумевается что при выполнение команд будут подставлены адреса ваших репозиториев.